32^n-1怎么能被31整除

用二项式定理。
32=31+1
原式=（31+1）^n-1=C(排列组合的运算公式,这里不需要计算)n(0)(从n中取0个数，只有一种取法)*31^n*1^0(之后的1均省略)+Cn(1)*31^(n-1)+Cn(2)*31^(n-2)+……+Cn(n-1)*31^1+ Cn(n)*31^0-1=(因为倒数第二项之前都有31，所以设除以31后余下M)31*M+1-1=31*M
所以能被31整除。
数学归纳法是个好方法，但是它所证明的结论不一定都正确，所以最好不要用。
有不懂的还可以问。

数学归纳法
n=1时成立
设n=k时也成立，k>=1,也就是
32^k-1=31m,m为整数
那么32^k=31m+1
那当n=k+1时
32^(k+1)-1=32*32^k-1=32*(31m+1)-1=31*32m+32-1=31(32m-1)也能被31整除

故而对于任意的n是自然数，有
32^n-1能被31整除

32^n-1
=(32-1)*[32^(n-1)+32^(n-2)+32^(n-3)+----+32+1)]
=31*[32^(n-1)+32^(n-2)+32^(n-3)+----+32+1)]
所以能被31整除